حل تمرینهای ترکیبی فصل دوم ریاضی هشتم

۱. **بخش اول: نوشتن عدد مرکب** یک عدد مرکب که فقط شمارنده‌های اول ۲ و ۳ داشته باشد، از ضرب این دو عدد به دست می‌آید. به عنوان مثال، عدد **۱۲**. تجزیه عدد ۱۲ به عوامل اول: $ ۱۲ = ۲ \times ۶ = ۲ \times ۲ \times ۳ = ۲^۲ \times ۳ $. ۲. **بخش دوم: بررسی نسبت به هم اول بودن** - عددی که شمارنده‌های اول آن ۲ و ۳ است (مانند **۱۲**). - عددی که شمارنده‌های اول آن ۲ و ۵ است (مانند $۲ \times ۵ = ۱۰$). **خیر**، این دو عدد نسبت به هم اول **نیستند**. **چرا؟** دو عدد زمانی نسبت به هم اول هستند که هیچ شمارنده اول مشترکی نداشته باشند (یعنی ب.م.م آن‌ها ۱ باشد). در این حالت، هر دو عدد دارای شمارنده اول مشترک **۲** هستند. بنابراین، ب.م.م آن‌ها حداقل ۲ است و نسبت به هم اول نیستند.

**اعداد اول بین ۲۰ و ۴۰:** با استفاده از روش غربال یا بررسی تک به تک، اعداد اول در این بازه عبارتند از: **$ \{ ۲۳, ۲۹, ۳۱, ۳۷ \} $** **مراحل روش غربال:** برای پیدا کردن اعداد اول تا ۴۰، باید مضرب‌های اعداد اولی را خط بزنیم که مربعشان از ۴۰ کوچک‌تر است. $ \sqrt{۴۰} \approx ۶.۳ $ اعداد اول کوچک‌تر از ۶.۳ عبارتند از: **۲، ۳ و ۵**. - کار را از خط زدن مضرب‌های اولین عدد اول یعنی **۲** شروع می‌کنیم. - با خط زدن مضرب‌های آخرین عدد اول مورد نیاز یعنی **۵**، کار را پایان می‌دهیم.

**بله**، عدد ۱۳۷ اول است. **چرا؟** برای بررسی اول بودن یک عدد، آن را بر اعداد اولی تقسیم می‌کنیم که مربعشان از آن عدد کوچک‌تر باشد. ۱. جذر تقریبی ۱۳۷ را به دست می‌آوریم: $ \sqrt{۱۳۷} \approx ۱۱.۷ $. ۲. اعداد اول کوچک‌تر از ۱۱.۷ عبارتند از: **۲، ۳، ۵، ۷ و ۱۱**. ۳. بخش‌پذیری ۱۳۷ را بر این اعداد بررسی می‌کنیم: - بر ۲ بخش‌پذیر نیست (چون فرد است). - بر ۳ بخش‌پذیر نیست (چون مجموع ارقامش $۱+۳+۷=۱۱$ بر ۳ بخش‌پذیر نیست). - بر ۵ بخش‌پذیر نیست (چون رقم یکانش ۰ یا ۵ نیست). - $ ۱۳۷ \div ۷ $ باقیمانده ۴ دارد. - $ ۱۳۷ \div ۱۱ $ باقیمانده ۵ دارد. چون ۱۳۷ بر هیچ‌کدام از این اعداد اول بخش‌پذیر نیست، پس عددی **اول** است.

دو عدد مرکب زمانی نسبت به هم اول هستند که هیچ شمارنده اول مشترکی نداشته باشند. به عبارت دیگر، بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م.م) آنها ۱ باشد. دو مثال برای این اعداد: - **عدد ۴ و عدد ۹:** - $۴$ مرکب است ($۴ = ۲ \times ۲$). - $۹$ مرکب است ($۹ = ۳ \times ۳$). - این دو عدد هیچ عامل اول مشترکی ندارند، پس نسبت به هم اول هستند. - **عدد ۸ و عدد ۱۵:** - $۸$ مرکب است ($۸ = ۲^۳$). - $۱۵$ مرکب است ($۱۵ = ۳ \times ۵$). - این دو عدد هیچ عامل اول مشترکی ندارند، پس نسبت به هم اول هستند.